SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ

Đề chính thức

Số báo danh




KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học 2010- 2011

Môn thi: Toán
Lớp: 12 THPT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 24/03/2011
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu).


Câu I. (4,0 điểm).
Cho hàm số
(
là tham số thực), có đồ thị là

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với

Tìm các giá trị của m để đồ thị
có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Câu II. (6,0 điểm).
1) Giải phương trình:

2) Giải bất phương trình:


3) Tìm số thực a để phương trình:
, chỉ có duy nhất một nghiệm thực .Câu III. (2,0 điểm). Tính tích phân:

Câu IV. (6,0 điểm).
1) Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc
các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt


. Tìm
để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất.
Trên mặt phẳng toạ độ
cho đường thẳng
và hai elíp
,
có cùng tiêu điểm. Biết rằng
đi qua điểm M thuộc đường thẳng
Tìm toạ độ điểm M sao cho elíp
có độ dài trục lớn nhỏ nhất.
Trong không gian
cho điểm
và hai đường thẳng

.
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M song song với trục
, sao cho (P) cắt hai
đường thẳng
lần lượt tại A, B thoả mãn
.
Câu V. (2,0 điểm). Cho các số thực
thoả mãn:


Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức


.............................................................. HẾT ........................................................
Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

SỞ GD & ĐT THANH HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ CHÍNH THỨC

(Gồm có 4 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2010 - 2011
MÔN THI: TOÁN
LỚP: 12 THPT
Ngày thi: 24 - 3 - 2011

Câu
Ý
Hướng dẫn chấm
Điêm

Câu I
4,0 đ
1)
2,0đ
Với
ta được hàm số

Tập xác định:

Giới hạn tại vô cực:

Sự biến thiên:


0,5




Hàm số đồng biến trên các khoảng
và
.

Hàm số nghịch biến trên khoảng

Điểm cực đại của đồ thị
điểm cực tiểu của đồ thị


0,5





Bảng biến thiên:







0,5



Đồ thị đi qua điểm (-2; -1) và (2; 3).

Điểm uốn I(0; 1) là tâm đối xứng












0,5


2)
2,0đ
Ta có
là tam thức bậc hai của x.
y` có biệt số

Nếu
thì
, suy ra yêu cầu bài toán không thoả mãn.

0,5



Nếu
, thì
có hai nghiện


Dấu của y`:

0,5



Chọn
Ycbt thoả mãn khi và chỉ khi tồn tại x sao cho
pt:
(1) có nghiệm . Pt (1) có:



0,75



Vậy giá trị cần tìm của m là
.

0,25

Câu II
6,0 đ
1)
2,0đ
PT

0,5




0,5






0,5



0,5



2)
2,0đ


Tập xác định:
.
BPT

0,5






(vì
)
0,5



Đặt:
(t > 0), ta được

.

0,5



BPT đã cho tương đương với



0,5


3)
2,0đ


Nhận xét: Nếu
là nghiệm của (2) thì
cũng là nghiệm của (2),
0,5



 suy ra điều kiện cần để (2) có nghiệm duy nhất